Historia de su origen
En mayo de 1930, Hardy Cross (1885-1959) publicó un artículo titulado «Análisis de marcos continuos mediante la distribución de momentos de
extremos fijos» en la Sociedad Estadounidense de Ingenieros Civiles (ASCE).
Este artículo proponía un nuevo enfoque de la Teoría Estructural, y su relevancia podría compararse con la del Teorema de los Tres Momentos (también conocido como Teorema de Clapeyron). El método Cross, como se ha llamado a menudo a esta metodología de cálculo, tuvo una notable importancia desde su aparición hasta la década de los 70, cuando se popularizaron nuevos métodos de cálculo.
Es relevante señalar que en el momento de la publicación del artículo, los métodos de cálculo más comunes eran el Teorema de los Tres Momentos y el método de la Pendiente Deflexión (Slope – Deflection). El primero había sido propuesto por Benoît Clapeyron (1799-1864), y el segundo había sido creado por Wilbur M. Wilson y George Alfred Maney, de la Universidad de Illinois (1915).
Es importante agregar, sin embargo, que un año antes, Axel Bendixen había publicado el método de ecuaciones alfa para la resolución de estructuras portales. Este proponía una formulación similar al enfoque de Wilson y Maney al centrarse en la importancia de la rotación y los desplazamientos al calcular el estado de una determinada estructura.
Estos métodos eran sencillos en cuanto a su aplicación pero presentaban la dificultad de tener que resolver un sistema de n ecuaciones y n incógnitas (dependiendo del tipo de estructura). Por lo tanto, la propuesta de un método de cálculo más rápido era una perspectiva extremadamente atractiva para los
analistas estructurales.
Aunque el método Hardy Cross era la metodología más utilizada en ese momento, también estaban disponibles otros dos procedimientos; a saber, los métodos Kani y Takabeya, métodos que también aparecerían en la bibliografía técnica de la época.
A raíz de la propuesta del método Cross, el mundo del análisis estructural cambió radicalmente. Este cambio ocurrió en EE. UU., pero también es importante destacar la proliferación de los llamados métodos iterativos en
otros países. Estos métodos alternativos se presentan en la siguiente tabla, así como más datos sobre su lugar de origen y momento en que aparecieron:
Desde el momento de la publicación en adelante, la bibliografía sobre el tema del método Cross comenzó a aumentar rápidamente, al igual que las traducciones correspondientes a múltiples idiomas.
¿Qué es el método de Hardy Cross?
El método de Hardy Cross (o de Distribución de Momento) es una derivación general de Rigidez, donde, para el caso de estructuras cuyos giros de sus nudos sean los únicos grados de libertad (GL), se aplica el principio de superposición sobre las rotaciones, pero, esta vez en forma incremental.
¿Cómo se calcula?
En cada ciclo de este proceso iterativo se aplican incrementos de rotaciones, que generan incrementos de momentos flectores capaces de reestablecer el equilibrio estructural. El proceso culmina cuando los incrementos de momentos se tornan despreciables, según sea el grado de precisión deseado (usualmente 1/100 del mayor valor del momento de empotramiento). Los momentos flectores y las rotaciones finales se obtienen superponiendo los diversos incrementos calculados en cada ciclo.
A continuación te muestro 2 ejemplos del método de Hardy Cross:
En términos generales, comenzamos considerando una estructura virtual con todos los nudos asumidos completamente rígidos (es decir, no tienen desplazamiento), y procedemos a eliminar esta rigidez adicional permitiendo rotaciones en un primer momento y permitiendo desplazamiento en una etapa posterior.
Pasos a realizar
- Nudos completamente rígidos.
- Nudos libres de rotar pero no desplazarse.
- Nudos libres para desplazarse pero no para rotar.
- Nudos con libertad de rotación y desplazamiento.
Una vez realizados los pasos I y II (Etapa fundamental), se resuelve la estructura en caso de que no sea traslacional; es decir, si no hay desplazamientos en la estructura, el proceso ha terminado y el diagrama de momentos que acabamos de obtener es la solución que buscamos. Una vez obtenido el diagrama de momentos, es muy fácil obtener el resto de diagramas, ya que la estructura es isostática.
Sin embargo, si la estructura tiene desplazamientos horizontales, comúnmente considerados como △, la estructura es traslacional. Este sería el caso de las estructuras no simétricas, ya sea con una geometría no simétrica o cargas no simétricas. Para estos casos, tenemos que continuar y aplicar la llamada Etapa Paramétrica, que corresponde al III y IV paso del método.
Los valores de los momentos totales se pueden deducir de la superposición de los obtenidos en el paso II con los que acabamos de obtener el paso IV, que han sido previamente multiplicados por el coeficiente correspondiente.
Ejemplo práctico
Resolveremos la siguiente estructura por el método de Cross:
1. Cálculo de las rigideces y factores de distribución
2. Cálculo de las rigideces y factores de distribución
3. Cálculo del grado de desplazabilidad
Estado 1
De esta manera espero haberte explicado la historia y un ejemplo práctico sobre el Método de Hardy Cross.
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